Anlage 2: Inhaltsübersicht zum Buch

"Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit QuickBASIC-Programmen"

1. Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse

• Definition von Fehlergrößen
• Dezimaldarstellung von Zahlen
• Fehlerquellen

2. Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen (z.B. von Polynomen)

• Definitionen und Sätze über Nullstellen
• Allgemeines zu Iterationsverfahren: Definition - Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen - Konvergenz - Fehlerabschätzung - praktische Durchführung
• Newtonsche Verfahren
• Regula Falsi
• Verfahren von Steffensen
• Einschlussverfahren: Bisektionsverfahren - Pegasusverfahren - Vefahren von Anderson-Björck-King - Das Illinois-Verfahren
• Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen

3. Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen

• Das Horner-Schema
• Das Verfahren von Müller
• Das Verfahren von Bauhuber
• Das Verfahren von Jenkins und Traub

4. Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

• Lösbarkeitsbedingungen
• Der Gauß-Algorithmus
• Verfahren für Systeme mit symmetrischen Matritzen
• Das Gauß-Jordan-Verfahren
• Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen
• Gleichungssysteme mit Bandmatritzen
• Lösung überbestimmter linearer Gleichungssysteme mit Householdertransformation
• Fehler, Kondition und Nachiteration
• Gleichungssysteme mit Blockmatritzen

5. Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

• Vektor- und Matritzennormen
• Das Iterationsverfahren in Gesamt- und Einzelschritten
• Das Gauß-Seidelsche Iterationsverfahren
• Relaxation

6. Systeme nichtlinearer Gleichungen

• Allgemeines Iterationsverfahren
• spezielle Iterationsverfahren: Newtonsche Verfahren - Regula Falsi - Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradientenverfahren) - Das Verfahren von Brown

7. Eigenwerte und Eigenvektoren von Matritzen

• Diagonalähnliche Matritzen
• Das Iterationsverfahren nach v. Mises
• Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten
• Das Verfahren von Krylow
• Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren: QD-Algorithmus - Verfahren von Martin, Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson
• Transformation auf Hessenbergform, LR- und QR-Verfahren

8. Lineare und nichtlineare Approximation

• Lineare Approximation
• Kontinuierliche und diskrete lineare Approximation im quadratischen Mittel
  • Normalgleichungen für den diskreten linearen Ausgleich
  • Diskreter Ausgleich durch algebraische Polynome
  • Lineare Regression
  • Householdertransformation zur Lösung des linearen Ausgleichsproblems
  • Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff-Polynome
  • Approximation periodischer Funktionen
• Nichtlineare Approximation

9. Polynomiale und rationale Approximation

• Interpolationsformel von Lagrange
• Das Interpolationsschema von Aitken
• Newtonsche Formel
• Rationale Interpolation
• Interpolation bei Funktionen mehrer Veränderlichen: Interpolationsformal von Lagrange - Shepard-Interpolation

10. Interpolierende Polynomsplines zur Konstruktion glatter Kurven

• Polynomsplines dritten Grades
• Hermite-Splines fünften Grades

11. Polynomiale Ausgleichsplines 3. Grades

• Definition der Splinefunktion
• Berechnung der nichtparametrischen und parametrischen kubischen Ausgleichsplines

12. Zweidimensionale Splines, Bézier-Splines, Oberflächensplines

• Interpolierende zweidimensionale Polynomsplines dritten Grades zur Konstruktion glatter Flächen
• Kubische und bikubische interpolierende und approximierende Bézier-Splines
• Zweidimensionale interpolierende Oberflächensplines

13. Akima- und Renner-Subsplines

• Akima-Subsplines
• Renner-Subsplines
• Abrundung von Ecken bei Akima- und Renner-Kurven
• Näherungsweise Berechnung der Bogenlänge einer Kurve

14. Numerische Differentiation

• Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoms
• Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer Polynomsplines
• Differentiation nach dem Romberg-Verfahren

15. Numerische Quadratur

• Konstruktion von Interpolationsquadraturformeln
• Newton-Cotes-Formeln: Die Sehnentrapezformel - Die Simpsonsche Formel - Die 3/8-Formel - Weitere Newton-Cotes-Formeln
• Quadraturformeln von Maclaurin: Die Tangententrapezformel und weitere Formeln
• Die Euler-Maclaurin-Formeln
• Tschebyscheffsche Quadraturformeln
• Quadraturformeln von Gauß
• Einfache Berechnung von Gewichten und Stützstellen verallgemeinerter Gauß-Quadraturformeln
• Quadraturformeln von Clenshaw-Curtis
• Das Verfahren von Romberg
• Adaptive Quadraturverfahren

16. Numerische Kubatur

• Konstruktion von Interpolationskubaturformeln
• Newton-Cotes-Kubaturformeln
• Das Romberg-Kubaturverfahren für Rechteckbereiche
• Gauß-Kubaturformeln für Rechteck- und Dreieckbereiche
• Berechnung des Riemannschen Flächenintegrals

17. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

• Einschrittverfahren: Verfahren von Euler-Cauchy - Praediktor-Korrekturverfahren von Heun - Verschiedene Runge-Kutta-Verfahren
• Mehrschrittverfahren: Das explizite Verfahren von Adams-Bashforth - Das Praediktor-Korrektor-Verfahren von Adams-Moulton - Verfahren von Adams-Störmer
• Extrapolationsverfahren von Bulirsch-Stoer-Gragg
• Stabilität und Steifheit von Differentialgleichungssystemen

18. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

• Zurückführung des Randwertproblems auf ein Anfangswertproblem
  • Randwertprobleme für nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
  • Randwertprobleme für Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung
  • Mehrzielverfahren
• Differenzenverfahren
  • Das gewöhnliche Differenzenverfahren
  • Differenzenverfahren höherer Näherung
  • Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme zu speziellen Randwertproblemen
  • Lineare Eigenwertprobleme

Anhang: QuickBASIC-Programme

• 239 Quick Basic Programme für alle vorgestellten numerischen Verfahren von Jürgen Dietel. Alle Programme sind im .BAS Quellsprachecode abgedruckt.